Was verbirgt sich hinter dem „Ziegenproblem“?

Alltagspsychologie auf dem Prüfstand. Wie eine Show mit dem Moderator Monty Hall aus den 1960/70er Jahren zeigt, dass wir uns auf unsere Intuition nicht verlassen können.

Das Ziegenproblem, oder auch „Monty Hall Problem“, wird herangezogen, wenn man zeigen will, dass der menschliche Verstand bei Wahrscheinlichkeiten häufig falsch liegt. Die Problemstellung geht auf die amerikanische Spielshow Let’s make a Deal zurück, die in den sechziger und siebziger Jahren des vergangenen Jahrhunderts von Monty Hall moderiert wurde.

Große Aufmerksamkeit erhielt diese Problemstellung vor allem, als sich die amerikanische Kolumnistin Marilyn vos Savants 1990 in ihrer Zeitungskolumne damit beschäftigte und zugleich die Lösung lieferte:

Folgende Situation wird angenommen:

Der Moderator einer Fernsehshow führt seinen Kandidaten vor drei verschlossene Türen, beispielsweise mit der Aufschrift A, B und C. Hinter einer dieser Türen befindet sich ein neues Auto, das der Kandidat erhält, wenn er die richtige Tür wählt. Er selbst weiß aber nicht, hinter welcher Tür sich dieser Gewinn verbirgt. Auf die Frage des Moderators, für welche Tür er sich entscheidet, antwortet der Kandidat: „Tür C.“ Der Moderator, der weiß, hinter welcher Tür sich das Auto versteckt, öffnet jedoch zuerst Tür B, hinter der eine Ziege (= Niete) steht. Daraufhin erhält der Kandidat von dem Moderator die Option, zu wechseln; er fragt ihn: „Wollen Sie nun lieber Tür A wählen?“ Dem Kandidaten wird also angeboten, sich noch einmal umzuentscheiden.

Wechseln oder nicht?

Die Frage ist nun, ob der Kandidat wechseln soll oder nicht: Bleibt er weiterhin bei Tür C oder entscheidet er sich doch besser für Tür A?

Marilyn vos Savants Lösung sah vor, dass der Kandidat zu Tür A wechseln solle, da dadurch die Chance auf das Auto verdoppelt würde. Mit dieser Lösung wollten sich jedoch viele ihrer Leser nicht zufrieden geben und reagierten entrüstet. Vos Savants erhielt mehr als zehntausend Briefe, wovon die Mehrheit ihre Lösung lautstark anzweifelte. Auch viele Akademiker schlossen sich der Meinung an, dass vos Savants Lösung falsch sei. Für viele war die Lösung eindeutig: Dadurch, dass der Moderator Tür B geöffnet hat, bleiben nur noch zwei Türen übrig. Demzufolge müsste die Chance, dass das Auto hinter einer dieser Türen steht, 50:50 sein.

Hier wird das „Ziegen-Problem“ deutlich: Die Menschen glauben, dass sie ihren Instinkten trauen könnten. Der Instinkt der Skeptiker (die Mehrheit) sagte ihnen, dass die Gewinnchance bei 50:50 läge. Dies ist aber falsch! Vos Savants dagegen hat mit ihrer Lösung richtig gelegen: Wenn der Kandidat sich für Tür A entscheidet, steigt die Wahrscheinlichkeit um 2/3 (oder etwa 66 %), dass dahinter das Auto steht.

Wie kann das sein? Es gibt verschiedene Möglichkeiten, das Problem zu erklären. Eine sieht folgendermaßen aus:

Einfache Lösung anhand von Fallbeispielen:

Fall 1: Z – Z – G (Tür A – Tür B – Tür C)

Der Gewinn (G) steckt hinter Tür C. Der Kandidat wählt Tür C, woraufhin ihm der Moderator Tür A oder B öffnet. Bei einem Wechsel würde der Kandidat verlieren und eine Ziege (Z) erhalten.

Fall 2: Z – G – Z (Tür A – Tür B – Tür C)

Der Gewinn steckt hinter Tür B. Der Kandidat wählt Tür C (= Ziege), woraufhin ihm der Moderator Tür A (= Ziege) öffnet. Bei einem Wechsel würde der Kandidat gewinnen.

Fall 3: G – Z – Z (Tür A – Tür B – Tür C)

Der Gewinn steckt hinter Tür A. Der Kandidat wählt Tür C (= Ziege) und ihm wird Tür B gezeigt. Bei einem Wechsel würde er gewinnen.

Fazit: Da der Kandidat in den Fällen 2 und 3 bei einem Wechsel gewinnen würde, steht die Gewinnchance 2 zu 3. Bleibt er dagegen bei seiner ersten Entscheidung, bleibt die Chance, zu gewinnen, bei 1 zu 3.

Mathematisch kann das Problem übrigens mit dem Satz von Bayes gelöst werden.

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