Wie rechne ich Bruchrechnung

Bruchrechnung ganz einfach gemacht. Wie war das noch? Bruchstrich – Zähler – Nenner … Und dann war da noch was mit gleichnamig machen … Wie ging das noch? Ganz einfach: Hier nachlesen!

Hand aufs Herz – können Sie das noch: Bruchrechnen? Wissen Sie aus dem Stand, wie man zwei Brüche addiert? Oder dividiert? Ein Fünftel geteilt durch drei Viertel? Gelernt haben wir das alles einmal in der Schule. In der Grundschule sogar. Bruchrechnen ist Stoff der dritten Klasse. Aber wer zehn oder zwanzig Jahre aus der Schule ist und sich nicht zumindest gelegentlich mit der Bruchrechnung befasst, der hat vielleicht das Eine oder Andere beim Bruchrechnen nicht mehr drauf.

Bruchrechnen: die drei Teile eines Bruches

Ein Bruch besteht aus drei Teilen. Da gibt es zunächst einmal den Strich, logischerweise „Bruchstrich“ genannt. Die Zahl oberhalb des Bruchstriches heißt „Zähler“, jene unterhalb des Bruchstriches „Nenner“. Das ist den meisten von uns sicherlich noch bekannt.

Addieren und Subtrahieren von Brüchen

Will man zwei Brüche addieren oder subtrahieren, so müssen (das ist unbedingt erforderlich) die Nenner der beiden Brüche gleich sein. Sind die Nenner unterschiedlich, so müssen die Werte unterhalb des Bruchstriches auf einen gleichen Wert gebracht werden. Diesen Wert bezeichnet man auch als „gemeinsames Vielfaches“.

Beispiel: Es sollen ein Halb (1/2) und ein Drittel (1/3) addiert werden. Die Werte der Nenner sind also 2 und 3. Das „gemeinsame Vielfache“ dieser Zahlen ist 6, denn die 2 ist in der 6 enthalten, ebenso die 3. Um von der 2 auf die 6 zu kommen, ist eine Multiplikation mit 3 erforderlich, während der Nenner mit der 3 mit dem Wert 2 multipliziert werden muss. Da man in einem Bruch nicht einfach so den Nenner verändern darf, muss die vorgenommene Multiplikation des Nenners genauso im Zähler vorgenommen werden (oder in einfachen Worten: Was unter dem Bruchstrich geschieht, muss auch über dem Bruchstrich geschehen). Das bezeichnet man als „Erweitern“.

Die 2 im Nenner wurde mit 3 multipliziert, also muss auch die 1 im Zähler mit 3 multipliziert werden. Damit wird aus ein Halb (1/2) nun drei Sechstel (3/6). Beim zweiten Bruch (1/3) wird mit dem Wert 2 erweitert, was zu zwei Sechsteln (2/6) führt.

Nun, wo beide Brüche den gleichen Nenner aufweisen, können sie addiert (oder subtrahiert) werden. Dabei darf die Addition (oder Subtraktion) nur beim Zähler durchgeführt werden, keinesfalls beim Nenner! Das Ergebnis ist also fünf Sechstel (3 + 2 im Zähler).

Die Multiplikation von Brüchen

Das Multiplizieren von Brüchen ist die einfachste Art der Bruch-Berechnung. Hier werden ganz einfach die Zähler miteinander multipliziert und dann die Nenner multipliziert. Und das war es dann auch schon.

Beispiel: Zwei Drittel (2/3) soll mit drei Viertel (3/4) multipliziert werden. Die beiden Zähler (2 und 3) werden miteinander multipliziert (Ergebnis ist 6), und auch die Nenner (3 und 4) werden miteinander multipliziert (Ergebnis ist 12). Damit lautet das Ergebnis der Multiplikation sechs Zwölftel (6/12). Diesen Bruch könnte man jetzt kürzen, aber das kommt erst später.

Die Division: ein Bruch geteilt durch einen Bruch

Bekommt man als Aufgabe, einen Bruch durch einen anderen Bruch zu teilen, so sieht das zunächst sehr kompliziert aus – ist es aber gar nicht. Denn da gibt es einen kleinen Kniff. Man nimmt einfach den zweiten Bruch, dreht ihn sozusagen um (aus dem Zähler wird der Nenner, und aus dem alten Nenner wird der Zähler), und dann multipliziert (!) man einfach die beiden Brüche.

Beispiel: Drei Viertel (3/4) geteilt durch zwei Drittel (2/3). Für die Berechnung wird der zweite Bruch umgedreht und damit zu drei Halbe (3/2) gemacht. Und statt der Division wird nun wie bei der Multiplikation verfahren: Die Zähler multiplizieren (3 x 3 = 9), dann noch die Nenner multiplizieren (4 x 2 = 8). Das Ergebnis lautet somit neun Achtel (9/8).

Das Kürzen eines Bruches

Können die Werte im Zähler und Nenner durch eine gemeinsame Zahl geteilt werden, so nennt man das „Kürzen“ – also genau das Gegenteil vom „Erweitern“ (siehe „Addieren und Subtrahieren von Brüchen“).

Beispiel: Ein Bruch lautet auf zwei Viertel (2/4). Sowohl die 2 als auch die 4 lassen sich jeweils durch 2 teilen. Das ergibt im Zähler eine 1 (2 geteilt durch 2), im Nenner eine 2 (4 geteilt durch 2). Das gekürzte Ergebnis lautet also ein Halb (1/2).

Hilfe beim Kürzen von Brüchen

Wie kann man schnell erkennen, ob ein Bruch gekürzt werden können? Für die Zahlen von 2 (Kürzen durch 1 macht ja keinen Sinn) bis 10 gibt es eine kleine Hilfetabelle:

2 = geht immer bei geraden Zahlen (Zahlen, die auf 0, 2, 4, 6, 8 enden).

3 = ist die Quersumme einer Zahl durch 3 teilbar, so ist auch die Zahl selbst durch 3 teilbar (402 … Quersumme 4 + 0 + 2 = 6 … 6 ist durch 3 teilbar, also ist 402 durch 3 teilbar).

4 = sind die beiden letzten Stellen einer Zahl durch 4 teilbar, ist die Zahl selbst durch 4 teilbar (316 … 16 ist durch 4 teilbar, also ist 316 durch 4 teilbar).

5 = lautet die letzte Stelle einer Zahl auf 0 oder 5, ist die Zahl durch 5 teilbar (85 … letzte Stelle ist eine 5, also ist 85 durch 5 teilbar).

6 = ist die Zahl durch 2 teilbar (siehe dort) und gleichzeitig durch 3 teilbar (siehe dort), so ist die Zahl auch durch 6 teilbar (216 … durch 2 teilbar, da geradzahlig; durch 3 teilbar, da Quersumme 9 durch 3 teilbar).

7 = Pech! Hier gibt es bislang noch keine Hilfestellung.

8 = sind die letzten drei Stellen durch 8 teilbar, ist die ganze Zahl durch 8 teilbar (21648 … 648 ist durch 8 teilbar, also ist 21648 durch 8 teilbar).

9 = ist die Quersumme einer Zahl durch 9 teilbar, ist die Zahl durch 9 teilbar (1971 … Quersumme 1 + 9 + 7 + 1 = 18 … 18 ist durch 9 teilbar, also ist 1971 durch 9 teilbar).

10 = lautet die letzte Stelle auf 0, so ist die Zahl durch 10 teilbar (7850 … letzte Ziffer ist eine 0, also ist 7850 durch 10 teilbar).

Und wissen Sie auch, wie man zwischen Brüchen und Dezimalzahlen hin und her wechselt?

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